套利定价理论是由Stephen Ross（1976）基于因子模型和金融市场无套利的假设发展而来的。套利定价理论认为，套利行为是现代有效率市场（即市场均衡价格）形成的一个决定因素。如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险套利机会。如果我们使用多个因素的线性组合来解释风险资产收益，那么，根据无套利原则，我们得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在线性关系。 ## 一、因素模型 套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。因素是一个抽象的概念，因素可以是市场收益率、汇率、利率等等。理论上，只要是能够解释资产i的收益率的变量，都可以被称作是一个因素。因素模型是一种统计模型。套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。这在套利定价理论的假设条件和套利定价理论中都清楚的体现出来。线性多因素模型的一般表达为: $$E(R_i) = R_F + \sum_{k=1}^K \beta_{i,k}\lambda_k$$ 其中， $R_i$是资产i的收益率； $R_F$是无风险资产收益率； $\beta_{i,k}$是资产i在k因素上的灵敏度； $\lambda_k$是因素k的风险溢价（灵敏度对因素k为1但对其他因素为0的投资组合的收益率就是因素k的风险溢价）。 ## 二、套利定价 假设只存在市场收益率这一个因子，某资产的期望收益率是20%，市场期望收益率是10%，无风险利率是5%，该资产在市场因素上的贝塔值是1.2。那么，根据APT模型，资产的期望收益率应该是： $$E(R_i) = 0.5 + 1.2*(10\%-5\%) = 11\%$$ 低于资产i的期望收益率，说明市场中存在套利机会。我们可以进行如下操作进行套利： 1. 在市场收益率上构建100%的空头头寸。 2. 在该资产上构建83.3%的多头头寸。 3. 在无风险资产上构建16.7%的多头头寸。 上述操作没有初始投资，也没有风险（$\beta_p = -100\% * 1 + 83.3\% * 1.2 + 16.7\% * 0 = 0$）。但是能产生正的期望收益: $$E(R_p) = -100\%*10\% + 83.3\% * 20\% + 16.7\% * 5\% = 7.5\%$$ 这将会在市场中产生套利机会，套利定价理论假设认为，套利机会将会被一直利用，直到价格改变，机会消失。 ## 三、实证研究 APT模型的关键在于寻找影响资产组合风险溢价的公共因素，在公因子选择方面，主要有两种研究思路：一是结构化方法，二是统计方法。结构化方法是指，从分析师的实务和经验中选取因子。统计方法是指，从观测数据出发，直接拟合出对资产收益率具有解释能力的因子。这些模型中有代表性的有以下研究： 1. Roll and Ross(1980)使用主成分分析法构建公共因子，该文的分析结果表明，至少有三个因子的风险溢价显著不等于零，这说明确实存在着影响所有资产收益率变化的不同因素； 2. Chen、Roll and Ross(1983)给出了一组能够广泛反映宏观经济的因素。这些因素包括行业产出指数、非预期通货膨胀、违约风险溢价的变化、利率期限结构的意外变化等； 3. Fama and French(1993)提出了著名的三因子模型，给出了一组反映资产组合的风险溢价的因素。这些因素包括市场组合的风险溢价、小市值股票组合与大市值股票组合回报率之差、高账面市值比的组合与低账面市值比的组合的回报率之差等。 ## 四、量化应用 如果APT模型是正确的，那么因素模型将很好的解释个股的收益率，换而言之，使用因素模型估计的资产收益率$E(R_i)$应该长期等于资产的实际收益率$R_i$。那么，如果对于某个时期的股票，回归得到的$E(R_i)$大于实际发生的$R_i$，说明这段时间里收益率偏低（当前股价偏低）。当前的偏离在未来是要修复的，这样的股票未来上涨概率应该更大。因此，我们的选股思路非常简单： 1. 确定股票池，比如使用沪深300成分股作为股票池； 2. 确定公共因子，比如使用沪深300指数收益率作为单因子； 3. 设定调仓频率，比如 T=10，表示每隔10天进行一次调仓； 4. 设定建模区间长度，比如 S=60，表示每次建模都使用60天收益率建模； 5. 设定持仓数量，比如 N=10，表示挑选10只股票构建多头组合； 6. 构建APT模型，筛选上期$E(R_i)$减$R_i$最大的前N只过票。 ## 五、策略实践 ### （一）单因子模型 1. 股票池：沪深300成分股； 2. 公共因子：沪深300指数收益率； 3. 调仓频率：T=10； 4. 建模区间：S=60； 5. 持仓数量：N=10。 ![APT单因子.PNG][1]  策略表现一般，存在以下几个问题： 1. 策略alpha收益不高，说明单因子APT定价模型不足以解释个股收益率； 2. 策略一直都是满仓操作，不能规避大跌风险； 3. 策略在筛选股票的时候没有对股票的基本面做判断，不能规避个股信用风险。 首先我们针对模型存在的第一个问题进行改进：一个改进思路是，使用Fama-French三因子或五因子模型，通过加入规模和价值因子规避信用风险；另一个改进思路是，使用主成分分析或核主成分分析法，找到最能够解释收益率来源的线性组合。 ### （二）Fama-French三因子模型 1. 股票池：沪深300成分股； 2. 公共因子：市场因子Rm、市值因子SMB、估值因子HML； 3. 调仓频率：T=10； 4. 建模区间：S=60； 5. 持仓数量：N=10。 其中，使用沪深300指数收益率作为Rm因子；使用沪深300指数成分股中市值最小的30%的股票的收益率，减去沪深300指数成分股中市值最大的30%的股票的收益率作为SMB因子；使用沪深300指数成分股中PB估值最小的30%的股票的收益率，减去沪深300指数成分股中PB估值最大的30%的股票的收益率作为HML因子。 ![APT三因子.PNG][2]  相比较于单因子组合，三因子组合表现更好，但是依然存在Alpha收益不高的问题。因此，我们换一个思路，使用主成分分析法来试一遍。 ### （三）主成分分析法 主成分分析的目的是，在损失掉最小信息量的条件下实现减维。具体看来，我们进行如下操作：第一步，获取沪深300成分股，60个交易日的收益率序列，得到一个300行，60列的矩阵X。第二步，对上述矩阵提取信息，实现降维，降维的目标是，在损失最小信息的前提下，使用某投资组合拟合所有300只股票的收益率（反映所有股票收益率最大变差的投资组合）。在本文中，我们不对主成分分析方法做具体的展开，假设通过主成分分析，我们将原始矩阵X转换成了k行，60列的矩阵Y(k<300)。最后，使用矩阵Y的k列数据作为因素，构建因素模型。 1. 股票池：沪深300成分股； 2. 公共因子：前k个主成分，保证前k个主成分的累计方差贡献率大于40%； 3. 调仓频率：T=10； 4. 建模区间：S=60； 5. 持仓数量：N=10。 ![APT主成分.PNG][3]  相比较于单因子组合，主成分分析法构建的因素模型表现更好，但是Alpha收益依然不够。这说明APT模型似乎不适合对股票收益率进行预测。 [1]: https://quant.gtja.com/img/0bdb0e8de71f4472656b3debc61b3f43 [2]: https://quant.gtja.com/img/92fb95d0e23213f3a96df70ac127693c [3]: https://quant.gtja.com/img/be66643a86b2294d7dcbdb571c664620